прет по экспоненте

эскалация прет по экспоненте
кривая стремительно пересекает
последние красные линии

Напомним, что показательной называется функция вида . График выглядит так:

Рис. 1. График показательной функции
График функции возрастает, если ; если основание  лежит в пределах то функция убывает.
Вспомним основные свойства.
1.      . x может принимать любые действительные значения;
2.       может принимать любые положительные значения;
3.       Графики всех функций при любом значении  проходят через эту точку;
4.      Функция возрастает, если ;
5.      Функция убывает, если .
Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы ее основные свойства.

Определение числа e

Число 
Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием 
Вот график функции :

Рис. 2. График функции 
Вот график функции :

Рис. 3. График функции 
В точке , если проведем касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси примерно на (меньше ).
Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на (больше ).
Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями  такое число , что график  имеет касательную в точке , которая наклонена к оси ровно на .

Рис. 4. Касательная к графику функции 
Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше . И, оказывается, есть такое число , что касательная в точке  наклонена к оси  под углом ровно  Это число , во-первых, расположено  и, во-вторых, иррационально. Вот выписано несколько десятичных знаков этого числа: . Таким образом, мы ввели очень важное число 
Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием 
 

Свойства функции y=e

График функции выглядит так:

Рис. 5. График функции 
Свойства аналогичны свойствам функции с основанием:
;
Функция возрастает;
Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;
Не существует ни наибольшего  ни наименьшего  значений;
Функция непрерывна;
Принимает все значения, когда ;
Функция выпукла вниз;
Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.
Таковы свойства данной функции.

Производная функции

Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?
Мы говорили, что функция  дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что производная в точке Доказан важный факт:
 При любом действительном значении  То есть отсюда видна особенность числа . Производная, то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.

Некоторые типовые задачи

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции

Пример 1.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.

Ответ:=
Пример 2.
Дано:
Найти: Производную
Решение.
По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.

Ответ:=
Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.

Задача на касательную

Следующая стандартная задача на касательную.
Пример 3.
Дано:, абсцисса точки касания;
Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в .
Решение.
Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику ее построения:

Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?
Найти координаты точки касания:

Итак, точка с координатами – это точка касания (рис. 6).

Рис. 6. Точка касания
Найти производную в любой точке 

Найти конкретное значение производной в точке :

У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.
Заполняем, получаем:

Ответ:
Небольшой анализ:
Тангенс угла наклона
 
Ордината пересечения точки с осью :

Задача решена.

Задача на нахождение наименьшего значения функции

Пример 4.
Найти наименьшее значение функции.
Решение.
Имеем производную произведения:

Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что , так как по свойству показательной функции всегда больше нуля.
Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).

Рис. 7. Критическая точка
Если , то и функция убывает. Если , то .
Мы уже говорили, что  – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:


Рис. 8. Точка наименьшего значения функции
И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке . Рис. 8.
Ответ: 
Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием . На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием .

тем круче